Matemàtiques

Des del caràcter instrumental que predomina en l’ensenyament de la matemàtica a primària fins al professional de la universitària, hi ha un període on ha de predominar el caràcter educatiu. Aquest no té perquè coincidir exactament amb l’etapa secundària, però de ben segur que és al llarg d’ella on aquest període esdevé. L’ensenyament secundari agafa el relleu de l’etapa anterior i, començant pel caràcter instrumental d’aquesta, que prioritza l’aprenentatge d’uns certs continguts fonamentals per la vida en la nostra societat, continua amb l’aprenentatge d’uns continguts propis d’una formació que, superada la part instrumental, prioritza la formació humana i creativa dels alumnes així com el seu pensament crític. Des del treball experimental i conjectural amb la incorporació progressiva del rigor, que predomina en l’ensenyament de la matemàtica a les etapes obligatòries, fins al professional que caracteritza els estudis superiors, el batxillerat constitueix el primer període postobligatori que ha de donar resposta a uns alumnes per ser terminal i a uns altres, per ser propedèutic. Nogensmenys, els estudiants que comencen l’ensenyament postobligatori no necessàriament tenen decidit el seu futur després d’aquesta etapa educativa. L’ensenyament de la matemàtica a batxillerat ha de permetre que l’estudiant copsi aspectes estructurals de la disciplina i la relacioni amb d’altres. L’assoliment d’uns objectius i unes competències, que a continuació es presenten, no és suficient. Cal a més afavorir la més correcta elecció en el futur educatiu, formatiu o professional de l’estudiant.

 

Al llarg de la vida l’alumne es trobarà amb situacions que no es resolen de manera algorísmica. L’ensenyament de la matemàtica a través de la resolució de problemes situa l’estudiant en una posició sovint incòmode que força la seva capacitat autònoma. Les estratègies heurístiques, que sovint no garanteixen efectivitat de resolució, permeten afrontar cada problema tot forçant el seu pensament crític i creatiu. Aquestes condueixen a un tipus de raonament que podrà ser d’utilitat per l’alumne més enllà de l’aula de matemàtiques. En un món en canvi constant com el nostre, l’ensenyament de la matemàtica ha de seguir camins en els quals l’elecció sigui inevitable, la correcció un hàbit i l’error un motiu per l’aprenentatge. La resolució de problemes, entesa com una activitat de construcció de coneixement i no només com la resolució rutinària d’exercicis, pot i ha de conduir a l’establiment de patrons generals que posteriorment siguin d’utilitat. A més, com a estil d’aprenentatge servirà a l’alumne en els seus estudis superiors, en la investigació, en el món laboral i en general al llarg de la seva vida ja que els hàbits que engendra tenen un valor que no es limita exclusivament al món de la matemàtica. El caràcter transversal que permet imprimir en l’ensenyament de la matemàtica la resolució de problemes i les diferents estratègies de resolució, han d’informar tot el currículum. Reconèixer situacions reals i concretes on la matemàtica és un instrument necessari per organitzar i interpretar informació, i per prendre decisions ben fonamentades és una pràctica ineludible. Des d’aquest enfocament l’ensenyament de la matemàtica permet generar entorns d’aprenentatge que afavoreixen un treball mental que fomenta un hàbit d’autoaprenentatge, anàlisi, decisió, descobriment i creació útil més enllà de l’àmbit d’acció disciplinar.

Plantejar problemes, experimentar-los, comprendre’ls, establir plans de treball, descobrir invariants, conjecturar resultats, generalitzar casos observats, suggerir altres problemes anàlegs, reconèixer conceptes matemàtics de situacions concretes, errar i corregir per experimentar i conjecturar de nou fins obtenir resultats plausibles de ser certs, proposar solucions als problemes plantejats, cercar arguments per consolidar els resultats conjecturals, redactar les conclusions, exposar-les en públic, defensar-les i acceptar els suggeriments i les crítiques dels altres, són activitats pròpies d’una dinàmica de treball que fa de la matemàtica una matèria útil en la formació integral de tots els alumnes i necessària en el batxillerat per ser una etapa terminal per una part de l’alumnat.

Tot i que el que s’accepta en matemàtiques és el que està provat, la matemàtica en el seu procés de gestació està formada per experiències, observacions i intuïcions que, en algunes ocasions, condueixen a descobriments plausibles de ser certs. Contrastar aquests descobriments a través de l’estudi de casos concrets conduirà a modificar-los, rebutjar-los o acceptar-los. Testejar les conjectures descobertes i potser refutar-les és una activitat que facilita una correcta interpretació de l’error, forma part del procés de millora del raonament i educa el pensament crític dels nostres alumnes. La necessitat del rigor quedarà justificada quan l’alumne descobreixi i defensi, oralment i per escrit, conjectures que posteriorment ell mateix pugui refutar.

Els continguts introduïts en l’ensenyament obligatori des d’un punt de vista experimental i conjectural es recullen i es retorna al seu estudi a partir de motivacions concretades en problemes que faciliten el descobriment per part de l’alumne. La construcció gradual i progressiva de coneixements s’ha de produir sota un ensenyament que faciliti entorns d’aprenentatge que connectin amb la matemàtica dels estudis superiors.

Sense abandonar l’experimentació, l’observació i el treball conjectural propis de les etapes obligatòries, l’ensenyament de la matemàtica a batxillerat ha de facilitar entorns d’aprenentatge en els que sorgeixi la necessitat de rigor i la concreció d’aquest. La formalització de resultats haurà de ser introduïda com a punt d’arribada del procés de construcció de coneixement matemàtic.

Competències específiques de la matèria

Ser competent en matemàtiques requereix tenir uns coneixements, capacitats i habilitats que han de facilitar que l’alumne pugui i vulgui afrontar els reptes que se li plantegin. Les cinc característiques següents es desenvolupen amb el treball exposat i són objectiu d’atenció de l’activitat docent a l’aula:

Aquestes característiques han de ser sempre presents en l’activitat matemàtica i per això conformen els processos que caldrà desenvolupar de manera general al llarg de tota l’etapa.

La competència matemàtica és l’habilitat per desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses. L’adquisició de coneixements matemàtics a partir de la resolució de problemes integrats dins de l’univers d’interessos del propi alumne és necessària, però no suficient. Cada alumne ha de tenir, a més, l’oportunitat d’interaccionar el coneixement adquirit en la resolució de problemes que siguin un repte per ell, problemes actuals o històrics però culturalment significatius, situacions no aïllades que tenen un curt reflex sobre el seu món, que requereixen tractaments heurístics i que faciliten la interpretació de la realitat. Les competències matemàtiques són una combinació de coneixements, capacitats i actituds adequades al context que presenten diverses dimensions que sovint s’entrellacen.

Ser matemàticament competent requereix, entre d’altres, l’assoliment gradual de la capacitat i la voluntat per pensar en la recta, el pla i l’espai (analogia), cercar arguments que donin solidesa als patrons descoberts, representar construccions, gràfics o diagrames, construir, interpretar i emprar adequadament fórmules, ...

La modelització matemàtica s’entén com el procés pel qual s’interpreta matemàticament  una determinada situació per tal de conèixer el seu comportament i controlar-la. La capacitat de modelitzar una determinada situació està vinculada amb la possibilitat de considerar relacions lligades al comportament d’una o diverses variables i a la possibilitat d’establir relacions sistemàtiques entre diferents sistemes de representació. La comprensió del món real està lligada, en gran mesura, al coneixement de la matemàtica. S’entén gràcies a aquestes i a models matemàtics de la ciència que fan ús d’elles. En els primers anys d’aprenentatge és molt més factible que l’alumne aprengui d’un problema matemàtic simplificat que no pas d’un problema real; la complexitat d’aquest de ben segur que el desborda. La matemàtica facilita la creació de models simplificats del món real que permeten una interpretació acotada d’aquest i alhora generen problemes adequats al moment educatiu de l’alumne tot facilitant el seu esperit crític i despertant la seva creativitat. Cal facilitar entorns d’aprenentatge en els quals la resolució de problemes forci l’alumne a fixar l’atenció en la situació plantejada, cercar relacions entre les variables implicades i descobrir patrons generals per tal d’obtenir un model que, amb un nivell de sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plantejat.

La competència en proactivitat fa referència a la capacitat per planificar, organitzar la feina i, en el treball en equip, liderar, delegar, informar o comunicar. La proactivitat s’interacciona amb les competències personals en el sentit que inclou la capacitat per determinar els punts forts i febles d’un mateix, d’assumir riscos així com d’avaluar-ne les competències. L’ensenyament de la matemàtica a través de la resolució de problemes facilita, amb la guia del professor, entorns d’aprenentatge en els quals els alumnes observen comportaments, intueixen regularitats i descobreixen patrons generals, conjecturen resultats, els contrasten i refuten o consoliden, argumenten els seus raonaments, presenten el treball realitzat, defensen les activitats emprades, les construccions realitzades i conclusions obtingudes, per arribar a aplicar el coneixement construït a aquest i d’altres àmbits. Aquest tipus d’actuació a l’aula de matemàtiques participa del que anomenem proactivitat i permet validar l’aprenentatge de l’alumne i incrementar la seva motivació. Prendre decisions és un fet que tots hem après, no es pot eludir al llarg de la vida. Aprendre a prendre decisions va una mica més enllà i està relacionat amb l’esperit crític i la visió global. Si a l’alumne li diem que un problema no té solució, poc haurà après. Si a més fem que experimenti (amb el paper ineludible de l’ús de les TIC) i que descobreixi la utilitat de les diverses eines, haurà après molt més. Si un problema no es pot resoldre, potser variant les condicions o emprant més recursos sí que serà resoluble. Aquest enfocament va més enllà de l'aprenentatge de la matemàtica ja que genera una activitat dinàmica útil dins i fora de les aules. Facilitem així que la presa de decisions per part de l’alumne no es limiti a les condicions i recursos estrictes de cada moment.

La competència en contextualització és consubstancial al treball matemàtic en el batxillerat. L’aprenentatge de la matemàtica a l’ensenyament obligatori es produeix en contextos específics i a través de problemes concrets. Les activitats són properes al context de la vida personal dels alumnes, el context públic i el context científic. La contextualització de les situacions problema participa en la motivació de l'estudiant i alhora és un instrument que permet validar el coneixement après. També facilita la interpretació de la realitat física i social a partir del coneixement matemàtic propi, ajudant a entendre i explicar aquestes realitats. Les referències a situacions de la vida real s'han de fer sota estratègies definides que assignin amb cura on i com s'empren aquestes situacions. Aquests tipus d'activitats s'han presentat al llarg de l'ensenyament obligatori vinculades a situacions contextualitzades en la vida real. En el batxillerat els entorns d'aprenentatge han de facilitar que, a partir d'aquestes situacions vinculades amb la realitat de l’estudiant, es puguin generar entorns d'aprenentatge que permetin l'establiment de resultats útils més enllà dels models concrets emprats. Cal que l'ensenyament al batxillerat no caigui en una simplificació empírica de la matemàtica i del seu ensenyament. De manera progressiva i sota entorns d'aprenentatge que parteixen de situacions problema contextualitzats, l'alumne obtindrà coneixement matemàtic més general que li facilita donar resposta a situacions que van més enllà de cada model concret i contextualitzat emprat. L’aprenentatge de la matemàtica possibilita, per tant, que l’alumne sigui competent en contextualització fent-li veure que és necessària aquesta competència, però no suficient. Cal que el coneixement matemàtic construït sigui útil dins dels models concrets contextualitzats emprats, però també fora d’ells.

La competència en experimentació impregna tot el treball científic. Si l’alumne no crea aleshores no genera coneixement. En aquest cas hi pot haver assimilació de continguts però no necessàriament evolució intel·lectual. Volem formar persones autònomes i crítiques que sàpiguen acceptar els propis errors, i alhora les virtuts de les altres persones; l’ensenyament de la matemàtica pot contribuir a facilitar que això sigui possible. A través de la resolució de problemes, la matemàtica ensenya a saber actuar quan ens equivoquem, per tal de no mantenir una postura inflexible a causa de no voler assumir els errors comesos. Ensenyar una fórmula o un algorisme i resoldre exercicis que són aplicació immediata d’aquests hauria de requerir poc temps. Ara bé, experimentar, plantejar problemes, comprendre’ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins obtenir-ne una que sigui plausible de ser certa, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en públic requereix temps per al qual cal una bona planificació. La presència de calculadores i ordinadors en el context educatiu de la matemàtica permet la cerca de patrons de comportament matemàtic, anàleg al que es realitza en les ciències experimentals. Les activitats dissenyades des d’aquest punt de vista i orientades cap a la construcció de coneixement, difícilment són possibles amb els mitjans tradicionals del llapis i el paper. És possible i desitjable realitzar activitats la representació gràfica de les quals revelen regularitats i variacions. Les noves tecnologies han de contemplar l’experimentació i la comunicació de les idees matemàtiques per donar pas al raonament matemàtic i a la comunicació oral i escrita de les idees. Ser competent en experimentació requereix acceptar aquesta com a punt de partida de la construcció de coneixement i alhora requereix l’extracció d’aquella informació que tractada adequadament condueix a la construcció de coneixement matemàtic curricular.

 

 

 

 

Contribució de la matèria a les competències del batxillerat

L’ensenyament de la matemàtica a través de la resolució de problemes parteix de l’experimentació, l’observació i facilitant el descobriment arriba a l’establiment de conjectures. La intuïció de l’alumne li diu si són certes i el seu contrast a través de l’estudi de casos li diu si les pot refutar. Defensar, oralment o per escrit, un resultat que s’obté per aplicació d’una fórmula o d’un algorisme té un efecte ben diferent que no pas defensar una conjectura. Aquesta darrera porta l’alumne a exposar els arguments que l’han conduït a establir-la però sabent que no té la seguretat de que sigui certa. Aquesta incertesa és molt més propera a allò que succeeix a la vida real, que no pas la seguretat a la que es pot arribar en determinats resultats obtinguts per l’aplicació rutinària de fórmules i algorismes. És per això que aquest enfocament metodològic de l’ensenyament de la matemàtica participa en l’assoliment de la competència comunicativa més enllà de l’àmbit d’acció disciplinar.

L’ensenyament de la matemàtica a través de la resolució de problemes facilita la formulació d’activitats que encaminen l’estudiant cap a l’establiment de conjectures i llur contrast. Aquesta pràctica educativa facilita la capacitat creativa i impulsa la competència en recerca. L’experimentació, l’observació, l’establiment de resultats conjecturals (hipòtesis), l’estudi de casos concrets sobre aquests tot acceptant-los o refutant-los, la reformulació de conjectures i la cerca d’arguments que donin transparència als resultats descoberts, són activitats que participen en l’adquisició de la competència en recerca. Les capacitats que potencia el currículum de matemàtiques facilita l’establiment de raonaments quantitatius sobre situacions de la vida real i sobre el món que ens envolta. Els blocs d’estadística constitueixen el marc teòric que dóna solidesa a tota recerca quantitativa. Des de la recollida de dades fins al seu anàlisi i presentació de resultats, aquesta branca de la matemàtica, profundament vinculada a ella, constitueix el punt de recolzament de tota recerca empírica quantitativa.

La cerca d’informació a través de fonts diverses (tradicionals o electròniques) és una competència necessària per a tot alumne en el món actual. Les activitats obertes requereixen sovint recursos tecnològics que fomenten l’autoaprenentatge de l’alumne. Cal incidir però en la comprensió dels processos matemàtics més que no pas en l’execució de rutines que amb tanta facilitat poden inundar el temps disponible dels nostres alumnes. I la millor manera d’evitar-ho és fer-ne ús tot ensenyant, des de l’experimentació, amb les aplicacions que ens ofereixen les TIC. En la realitat d’aquest moment, l’alumne empra aparells tecnològics amb facilitat i freqüència, per tant, per tal que en faci una correcta utilització cal que disposi de la nostra guia i orientació. Les noves tecnologies poden integrar-se en l’ensenyament de la matemàtica amb finalitats diametralment oposades. Així, el software que permet efectuar càlculs numèrics o simbòlics pot conduir a incrementar l’exposició de resultats tancats ja que les seves aplicacions poden ser exemples reals que, tot i que rutinaris, requereixen gran potència de càlcul. La selecció dels recursos tecnològics ha de permetre, a més, que siguin una eina que s’empri en la resolució de problemes per experimentar, observar, proposar conjectures i contrastar-les, en definitiva, una eina al servei de la creativitat. El disseny d’activitats que participen de la capacitació tecnològica i la competència digital són àmplies i es desitjable afavorir aquelles que faciliten el descobriment per part de l’alumne. No perdem de vista que l’estudiant té gran facilitat en l’ús de les noves tecnologies i, en conseqüència, hem d’orientar la seva utilització per tal que estiguin al servei de l’alumne i no aquest a disposició d’elles.

L’activitat matemàtica que genera la resolució de problemes ofereix, per sí sola, una intensa contribució a la formació integral de l’alumne. Per tal que això sigui possible cal dissenyar entorns d’aprenentatge que facilitin la presa de decisions, l’aprenentatge dels propis errors, la defensa d’arguments oralment i per escrit, el discerniment entre el que és essencial i el que és prescindible, etc. A matemàtiques és molt factible proposar situacions problema que encaminin l'alumne cap a l’establiment de conjectures, els seus contrastos, detecció, anàlisi i gestió d’errors fins arribar a construir teories que poden ser aplicades de manera generalitzada en molts altres problemes de la disciplina que ens ocupa o d’altres. És fonamental que l’error sigui una font d’aprenentatge i l’estil d’ensenyamentaprenentatge ha de facilitar la seva acceptació i resolució. Aquests entorns d’aprenentatge han de possibilitar la transmissió de les intuïcions bàsiques dels problemes matemàtics, l’essència del fet matemàtic, i conduir a la construcció de coneixement matemàtic i a la consolidació de resultats conjecturals. Potser hi haurà resultats que no seran útils per als alumnes que no segueixin estudiant després del batxillerat, però el procés de construcció de coneixement sí que ha de ser útil per a tots ells. La intuïció de és qui li diu quins dels seus descobriments conjecturals són certs i quins no. Ara bé, és molt diferent defensar, oralment o per escrit, un resultat que s’obté per aplicació d’una fórmula o d’un algorisme que no pas defensar una conjectura. Aquesta darrera porta l’alumne a exposar els arguments que l’han conduït a establir-la però sabent que no té la seguretat que sigui certa. Aquesta incertesa és molt més propera a la vida real que no pas la seguretat a la que es pot arribar amb el raonament lògicodeductiu propi dels resultats ferms. Hi ha també altres factors que intervenen en la presa correcta de decisions en la resolució de problemes, l’aprenentatge i la correcció dels quals participa de manera important en la formació integral de l’alumne: inflexibilitat a l’hora de considerar alternatives, rigidesa en l’execució de procediments, manca de previsió de les conseqüències d’una certa acció, manca d’avaluació del que s’està fent, etc. D’aquesta manera s’apropa l’alumne cap a un aprenentatge de la matemàtica que facilita l’assoliment de competències personals i interpersonals, més enllà de l’àmbit disciplinar.

L’ensenyament de la matemàtica ha de facilitar entorns d’aprenentatge que facilitin un pensament matemàtic que no sigui només purament formal: la generalització de casos observats, el replantejament de problemes per analogia, l’extracció o reconeixement de conceptes matemàtics a partir d’una situació concreta, etc. Aquest tipus de treball permet plantejar problemes que estan inspirats en el món real però que es presenten en models simplificats. La seva resolució i posterior traducció al món real permet una interpretació d’aquest que possibilita adoptar nous punts de vista i tenir-ne un coneixement més ampli. Aplicar resultats tancats no permet treballar la facultat d’intuir ja que l’alumne no ha de decidir ni crear sinó que ha de mimetitzar raonaments i/o aplicar resultats coneguts. La resolució de problemes força l’alumne a decidir, a preveure les conseqüències de les seves decisions, a avaluar el que està fent i a defensar les seves conclusions sense poder-se recolzar en un resultat prèviament exposat. La participació de l’ensenyament de la matemàtica en l’assoliment de la competència en el coneixement i interacció amb el món es pot concretar en la resolució de problemes emprant la generalització, particularització, analogia i inducció. Aquests tipus d’activitats  faciliten la traducció d’un problema a un altre quan la via de resolució que s’obre facilita l’obtenció de resultats útils per l’enunciat inicial i per altres.

 

Estructura dels continguts

Els continguts de l’àrea de matemàtiques expressen els aspectes més rellevants pel que fa als conceptes que cal que l’alumne aprengui, als processos matemàtics que orienten com l’alumne ha d’anar desenvolupant aquest aprenentatge i a les actituds que cal desenvolupar en l’alumnat. Aquesta estructura ha de facilitar entorns d’aprenentatge que condueixin a l’assoliment dels objectius i de les competències matemàtiques i de l’àmbit. Encara que els continguts es presentin organitzats per blocs es convenient establir relacions entre ells, també entre blocs de diferents cursos, i facilitar entorns d’aprenentatge que atenguin els processos comuns. Per això, la relació de continguts ve encapçalada pels processos matemàtics que han de desenvolupar els alumnes en treballar els continguts de tots els blocs, i en tots dos cursos.

Les capacitats que es pretenen assolir en l’àmbit de la matemàtica fan que els continguts sovint es relacionin i que no tingui sentit un ensenyament fragmentat per aconseguir un aprenentatge global. Tot i que es presentin els continguts per blocs cal entendre que l’ensenyament ha de facilitar que l’alumne vinculi el coneixement après en cadascun d’ells i sigui competent en la seva utilització integrada. El desenvolupament de les competències matemàtiques requereix partir de situacions que possibilitin la integració del pensament numèric, mètric, espaial, variacional i aleatori, així com l’articulació amb altres branques del coneixement.

Un bon coneixement dels nombres no es limita només a que l’alumne sàpiga calcular correctament o aproximar. També cal que identifiqui la seva utilització segons cada situació concreta. Acceptar els nombres naturals, les seves operacions i les seves propietats permet dissenyar entorns d’aprenentatge que facilitin la construcció dels enters, racionals, reals i complexes. No es tracta de presentar aquestes construccions fetes sinó facilitar que, a través de la resolució de problemes, l’alumne comprengui amb claredat que les propietats i les operacions en els diferents conjunts de nombres són una conseqüència natural de l’extensió de les operacions acceptades pel conjunt de nombres que, en cada cas, acceptem com a punt de partida.

De la mateixa manera, les successions, les mesures, el llenguatge algebraic, la trigonometria, la geometria analítica, les còniques i l’estadística no s’ha de limitar a la comprensió de les terminologies i dels conceptes matemàtics. Es desitjable facilitar que l’alumne connecti aquests coneixements amb la seva estructura cognitiva prèvia, que descobreixi el que es pretén que aprengui en la mesura que sigui possible i que doni significat al coneixement construït per tal que sigui hàbil en la seva utilització en diferents contexts tot participant de l’assoliment de les competències matemàtiques.

Els estudiants haurien de comptar amb les capacitats necessàries per aplicar els principis i els processos matemàtics bàsics en situacions quotidianes de la vida privada i professional, així com per comprendre i avaluar cadenes argumentals. Els estudiants han de ser capaços de raonar matemàticament, comprendre una demostració matemàtica i comunicar-se emprant el llenguatge matemàtic, així com emprar els recursos més adequats. Una actitud positiva en matemàtiques es basa en el respecte a la veritat i en la voluntat en trobar arguments i avaluar la seva validesa.

Consideracions sobre el desenvolupament del currículum

Cal fomentar que l’estudiant primer descobreixi on vol arribar i després raoni fins a consolidar els resultats prèviament conjecturats. Cal facilitar que sigui l’alumne qui, a través de la resolució de problemes, vagi requerint les eines teòriques necessàries. Educar requestant el raonament dels nostres alumnes ha de subrogar l’erudició de resultats segellats. El pensament viu que acompanya la matemàtica no pot ser transmès a partir de resultats tancats i morts.

La construcció del coneixement ha de traslladar la transparència del que per l’alumne és indubtable als resultats finals, tot evitant el que podria considerar, des del seu punt de vista, maniobres matemàtiques desvinculades del seu sentit comú. Aquesta activitat vincula el sentit comú de l’alumne amb el rigor matemàtic. Si no esdevé aquesta construcció aleshores no hi ha comprensió efectiva. Si l’ensenyament es reitera en la falta d’aquesta comprensió llavors arriba a l’alumne com una col·lecció de lleis, normes o manaments que el converteixen en un ser obedient sense independència intel·lectual, cada vegada més com més avança el seu procés d’aprenentatge.

El clima de l’aula dirigit pel professor, suggerint i facilitant la participació de l’alumne fomenta el descobriment per part d’aquest i el posa en la situació que els grans matemàtics van viure en el seu moment. La reflexió individual acompanyada pel treball en parelles o en petit grup són un bon preludi que permet culminar en la posta en comú a tota la classe. La defensa oral i per escrit dels propis descobriments o resolucions ha de ser una pràctica habitual, si més no, sobre el coneixement construït en cada unitat didàctica. L’activitat, la creació, la motivació, la participació, les conjectures, les correccions i errors en el sentit més positiu, l’exposició per escrit i oral dels resultats, la crítica i autocrítica raonada i exposada educadament i respectuosa s’ha de facilitar que siguin pràctiques habituals entre els nostres alumnes.

Considerant les capacitats esmentades com dimensions de la competència matemàtica, el desenvolupament d’aquestes capacitats en un estudiant serà un indicador del nivell de competència matemàtica assolit. L’avaluació permanent permet identificar els nivells de desenvolupament de les competències matemàtiques. Especialment destacada és l’avaluació formativa ja que permet comprendre el desenvolupament de les competències matemàtiques amb informació sobre la qualitat de les activitats proposades.

El treball amb competències condueix a interpretar l’avaluació com una via per recollir informació que serveixi de base per prendre decisions. Les activitats d’avaluació han de facilitar que l’alumne s’apropiï dels coneixements. Si una activitat d’avaluació no facilita un aprenentatge aleshores no és adequada.

L’avaluació ha de realitzar-se al llarg del procés d’ensenyament i aprenentatge, tot permetent a professors i alumnes obtenir informació sobre els avenços i les dificultats per tal de dissenyar els ajustos necessaris. Cal concebre par tant l’avaluació com un procés al llarg del qual la informació recollida permetrà prendre decisions que facilitin accions de millora.

El treball amb competències requereix avaluar per ensenyar, no només ensenyar per avaluar.

 

 


 

OBJECTIUS

La matèria de matemàtiques del batxillerat té com a finalitat el desenvolupament de les capacitats següents:

 

  1. Reconèixer situacions reals concretes on la matemàtica és un instrument necessari per organitzar i interpretar informació, i per prendre decisions ben fonamentades.

 

  1. Aplicar i relacionar els conceptes i procediments apresos, a diferents àmbits de les ciències i de la tecnologia, resolent situacions-problema, que facin palesa  la interconnectivitat de les diferents parts de la Matemàtica i  els diferents rols que aquesta  pot jugar.

 

  1. Decidir quins models matemàtics s’ajusten millor a determinades situacions que se’ls puguin plantejar en la vida quotidiana, saber representar-los simbòlicament, aplicar-los i extreure’n conclusions.

 

  1. Usar les eines tecnològiques com ara els fulls de càlcul, programes de càlcul simbòlic i de representació gràfica que permetin l’exploració, la simulació i representació per tal de fer emergir i entendre conceptes i procediments matemàtics.

 

  1. Consolidar la idea que la Matemàtica és un bon instrument per l’aplicació del mètode científic, explorant situacions que comportin: planificació, experimentació, formulació de conjectures i la seva consolidació.

 

  1. Reconèixer  diferents tipus de raonaments propis de les matemàtiques: analogia, inducció, deducció i reducció a l’absurd. En particular, incorporar al  bagatge cultural el que suposen les demostracions deductives.

 

  1.  Saber fer càlculs senzills, tant aritmètics com algèbrics per, entre altres, poder fer estimacions raonables i controlar possibles errors  en les aplicacions dels nous procediments apresos.

 

  1. Distingir entre fenòmens certs i probables, i saber caracteritzar-los quantitativament amb la consegüent capacitat d’anàlisi i estructuració de la informació continguda en un conjunt de dades.

 

  1. Valorar la potència dels recursos i models estadístics per analitzar i interpretar dades, i conèixer que cal tenir en compte les seves limitacions i ser crític amb el seu mal ús.

 

10. Incorporar al vocabulari de l’alumne elements propis del llenguatge matemàtic per tal de transmetre missatges en contextos on és especialment necessària la comunicació científica.


continguts

MATEMÀTIQUES I

 

Processos que es desenvolupen durant el curs a través dels diferents continguts

 

·        La resolució de problemes, entesa com un estil d’ensenyament que facilita la construcció de coneixement matemàtic a partir de l’experimentació, la cerca de patrons i regularitats i la formulació de resultats conjecturals.

·        El raonament i la prova, que pren sentit quan l’alumne ha descobert la necessitat de consolidar resultats prèviament conjecturats, pel fet d’haver-ne descobert prèviament d’erronis.

·        La defensa oral i per escrit dels propis raonaments, l’acceptació dels errors comesos i la comprensió davant dels errors dels altres. Es tracta d’establir plans de treball individuals o en grup que facilitin la comunicació entre els estudiants.

·        La utilització de diferents recursos tecnològics (ordinadors, calculadores, recursos audiovisuals, ...) que facilitin el descobriment d’invariants, la cerca de patrons i regularitats, la representació i interpretació de les dades, l’observació, exposició, contrast i, si s’escau, consolidació de propietats que s’obtenen de les seccions o manipulacions de diferents figures, etc.

·        La integració de la cultura matemàtica en el procés d’ensenyament, entesa com una activitat que permet que l’alumne conegui moments històrics rellevants connectats amb els continguts que es desenvolupen en cada moment. Els apartats epistemològics que es tractin no s’haurien de limitar a una exposició purament anecdòtica.

 

 

ARITMÈTICA I ÀLGEBRA

 

Classificació i representació dels conjunts numèrics

 

·        L’ampliació dels conjunts numèrics del Naturals als Reals: problemes i equacions que es poden resoldre en cada conjunt. Representació dels reals sobre la recta.

·        Els nombres complexos com  solucions d’equacions quadràtiques que no tenen arrels reals. Diferents representacions.

 

El càlcul amb nombres decimals: notacions, aproximacions i errors en funció de la situació objecte del càlcul

 

·        La notació científica per treballar, amb calculadora i/o ordinador, en contextos científics.

·        Les aproximacions i els errors en la mesura i en el càlcul. El càlcul amb calculadora i ordinador.

·        Resolució de problemes que impliquin desigualtats amb una incògnita. L’ús dels intervals com una forma d’expressar-ne els resultats.


 

El càlcul amb polinomis:  la transformació d’expressions algebraiques, per aplicar  a l’estudi de funcions

 

·        La simbologia dels polinomis i les seves operacions.

·         Arrels. Descomposició en factors.

·        Alguns càlculs senzills amb  fraccions algèbriques.

 

Les progressions: un model per a l’estudi del interès simple i del compost. El comportament a l’infinit d’una successió: un pas previ  a l’estudi en una funció

 

·        Estudi de situacions on es presenten col·leccions ordenades de nombres. Regles de recurrència i termes generals.

·        Les progressions aritmètiques i geomètriques.  Interès simple i  compost.

·        El comportament a l’infinit  en casos elementals. Suma dels termes d’una progressió geomètrica decreixent.

 

GEOMETRIA

 

Les funcions circulars en l’estudi de fenòmens periòdics i la trigonometria per resoldre problemes  per triangulació

 

·        L’angle com a gir. Unitats de mesura d’angles. Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol. Les funcions sinus, cosinus i tangent. L’estudi, amb ordinador, de les funcions trigonomètriques sota canvis d’escala: període i amplitud. Aplicació a l’estudi de fenòmens periòdics.

·        Resolució gràfica i analítica de triangles: els teoremes del sinus i del cosinus. Problemes  geomètrics que es poden resoldre per triangulació. Els procediments de càlcul en la topografia.

 

Els vectors, una nova eina per resoldre problemes de geometria. Les còniques en àmbits no matemàtics

 

·        Els vectors com a forma de representar una magnitud i una direcció. Els vectors lliures com a translacions en el pla.

·        Equacions de la recta. Direcció i pendent. Problemes d’incidència i paral·lelisme. Angles i distàncies. Aplicació a la resolució de problemes  geomètrics.

·        Llocs geomètrics: les còniques. Les còniques en l’art i l’arquitectura.

 

ANÀLISI

 

Estudi de les característiques de certs tipus de funcions  que poden ser models de fenòmens científics, tecnològics i socials

 

·        Funcions a partir de taules i gràfics. Aspectes globals d’una funció. Utilització de les funcions per a la interpretació de fenòmens científics.

·        Funcions a trossos: una primera idea de continuïtat, en contextos que comporten salts. La funció valor absolut.

·        Les funcions de proporcionalitat inversa en fenòmens físics. Comportament asimptòtic.  Estudi, amb ordinador, de les funcions homogràfiques com a translació de les funcions de proporcionalitat inversa.

·        Situacions que mantenen el tant per u de variació constat: models exponencials. Les propietats de la funció exponencial. El creixement exponencial enfront d’altres models de creixement. Concepte de logaritme lligat a la resolució d’equacions exponencials. La funció logarítmica: aplicació a l’estudi de fenòmens científics o tecnològics.

 

Interpretació física i geomètrica de les taxes  de canvi en contextos científics diversos

 

·        Taxes mitjanes de canvi. Aproximar i interpretar taxes instantànies de canvi en models científics. Càlcul gràfic del pendent d’una corba  en un punt a partir del pendent de la recta tangent : construcció gràfica de la funció derivada. Càlcul analític de derivades per aproximació de pendents de secants.

·        Càlcul de funcions derivades : derivades de les funcions elementals, les derivades i les operacions amb funcions. Derivades successives. Càlcul de la recta tangent a una corba en un punt: aproximació lineal a una corba.

·        Ús de calculadores i/o programes informàtics que faciliten tant el càlcul simbòlic com la representació gràfica.

 

PROBABILITAT I ESTADÍSTICA

 

Anàlisi del tipus i grau de relació entre dues variables en contextos científics i socials

 

·        Distribucions bidimensionals. Relació entre variables qualitatives: taules creuades. Interpretació de fenòmens socials i econòmics en els que intervenen 2 variables i estudi del grau de relació que tenen: núvols de punts, correlació i regressió, interpolació i extrapolació mitjançant la recta de regressió.

·         Ús de les calculadores i  fulls de càlcul o programes estadístics pels càlculs dels paràmetres i les representacions gràfiques.

 

Aplicació de les tècniques de recompte i del càlcul de probabilitats per resoldre situacions i problemes en  àmbits tant científics com socials

 

·        Tècniques de recompte en casos senzills: de les llistes ordenades i els diagrames en arbre a l’estudi de les combinacions.

·        Independència d’esdeveniments. Experiències successives i proves repetides. Probabilitat condicionada.

·        L’ajust d’una distribució estadística a un model de probabilitat: la llei normal.

 

 

 

 

Connexions amb altres matèries

FÍSICA I:

Aproximacions, errors i notació científica: en tot el currículum de física i particularment quan es fan pràctiques quantitatives o es tracta el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura.

 

Vectors i trigonometria: cinemàtica, dinàmica, camp gravitatori, camp elèctric, electromagnetisme.

Fenòmens periòdics: moviment circular.

Còniques: camp gravitatori, camp elèctric.

Les funcions polinòmiques, de proporcionalitat inversa, exponencials i trigonomètriques: en tot el currículum de física

Producte escalar: treball i energia, camp elèctric.

Taxes de variació i derivades: pràcticament en totes les parts però especialment en la  cinemàtica i el moviment ondulatori.

Estadística: tractament de dades experimentals.

 

QUÍMICA I:

Aproximacions, errors i notació científica: en tot el currículum de química i particularment quan es fan pràctiques quantitatives o es tracta el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura.

Resolució d’equacions: problemes d’equilibri químic

Estudi de funcions a partir de taules i gràfics en bona part del currículum

Funcions polinòmiques i de proporcionalitat inversa: llei dels gasos de Gay-Lussac, llei de Boyle-Mariotte

Logaritmes: equilibri químic, ph

Taxes de variació i derivades: cinètica química, gasos ideals.

Estadística: Tractament de dades experimentals.

Ús de la calculadora i de fulls de càlcul en bona part del currículum

 

BIOLOGIA I i II

Aproximacions, errors i notació científica: en tot el currículum de biologia i particularment quan es fan pràctiques quantitatives o es tracta el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura.

Funció exponencial: creixements de població

Taxes de variació: taxa de creixement d’una població

Combinatòria: Bioquímica i reproducció cel·lular

Probabilitat: genètica

Estadística: Evolució

 

DIBUIX TÈCNIC I:

Geometria plana: Construccions geomètriques i resolució gràfica de problemes.

 

CIÈNCIES DE LA TERRA I DEL MEDI AMBIENT I

Trigonometria: càlcul d’àrees

Funcions trigonomètriques: fenòmens periòdics

 

FÍSICA II

Producte vectorial: electromagnetisme

Còniques: interferències, camp gravitatori i elèctric.

Derivades: moviment ondulatori

Funcions trigonomètriques: moviment harmònic simple, pèndul simple, moviment ondulatori.

Funció exponencial: física nuclear

 

DIBUIX TÈCNIC II:

Geometria a l’espai: Construccions geomètriques i resolució gràfica de problemes

 

ELECTROTÈCNIA

Resolució de sistemes: Lleis de Kirchoff

Derivades, funcions trigonomètriques i complexos: Corrent altern

 

 

Els contextos HISTÒRICS

 

Es presenta una llista no exhaustiva i per tant ampliable, de possibles aproximacions històriques relacionades amb els continguts del curs:

 

  1. L’acceptació al llarg de la història dels diferents nombres reals. La irracionalitat  d’arrel de 2.
  2. Introducció històrica als nombres complexos. Leonhard Euler.
  3. La mesura del meridià terrestre i el naixement del metre. Una mesura universal sorgida de la Revolució francesa. Jean-Baptiste Delambre i Méchain.
  4. La resolució d’equacions i el teorema fonamental de l’àlgebra.
  5. Resolució analítica d’equacions i resolució gràfica. El mètode de Descartes per a resoldre equacions quadràtiques geomètricament.
  6. La funció exponencial i el càlcul amb logaritmes. John Napier i Henry Briggs.
  7. Abraham de Moivre i el càlcul de les probabilitats.

 

 

criteris d’avaluació

1.            Comprendre les ampliacions successives dels conjunts numèrics, amb atenció especial als nombres reals. Distingir els nombres reals de les seves aproximacions. Saber calcular i comprendre el significat del concepte intuïtiu de límit d’una successió.

 

2.            Aplicar i saber identificar en problemes pràctics les relacions entre la descomposició de polinomis i la resolució d’equacions polinòmiques. Comprendre la relació entre els zeros d’un polinomi i les solucions de l’equació polinòmica.

 

3.            Dominar l’operativitat amb exponents i logaritmes com a primer pas per a la futura comprensió de les funcions exponencials i logarítmiques, i entendre’n el significat.

 

4.            Ser competent en la resolució de triangles rectangles. Saber plantejar i resoldre problemes pràctics de trigonometria tot fent servir les eines apreses sobre mesura d’angles. Estar familiaritzat amb la resolució de triangles. Aplicar a situacions reals les tècniques de resolució de triangles, amb èmfasi especial en el cas de triangles rectangles.

 

5.            Transcriure situacions geomètriques al llenguatge vectorial bidimensional i fer-ne servir les tècniques per a resoldre problemes. Ser destre en la utilització de la relació entre direcció i pendent d’una recta, tot lligat amb la comprensió del concepte de paral·lelisme.

 

6.            Transcriure al llenguatge algebraic el concepte de lloc geomètric, i saber interpretar les expressions algebraiques corresponents. Subsidiàriament, cal conèixer les equacions de les còniques referides als seus eixos principals.

 

7.            Interpretar i utilitzar el concepte de funció, la seva expressió algebraica i les operacions amb funcions. Ser capaç de traduir el llenguatge de les funcions a situacions de l’entorn, i a l’inrevés, ser capaç de construir funcions a partir de dades reals.

 

8.            Conèixer i identificar els tipus bàsics de funcions, així com les seves propietats,i distingir entre les propietats dels diversos tipus de funcions..

 

9.            Comprendre i saber utilitzar els conceptes lligats a la variació d’una funció. Saber utilitzar en problemes pràctics el concepte de taxa de variació d’una funció i la seva aplicació a contextos de la realitat, comprendre el concepte de derivada d’una funció en un punt i ser destre en el càlcul de funcions derivades senzilles.

 

10.       Aplicar tècniques senzilles de recompte a situacions de la vida real. Ser capaç de resoldre problemes en què intervinguin els conceptes de probabilitat i dependència o independència d’esdeveniments, lligat amb conceptes elementals de combinatòria

11.       Interpretar la possible relació entre variables fent servir el coeficient de correlació i la recta de regressió, i ser capaç d’aplicar els conceptes bàsics de l’Estadística descriptiva i bivariant a situacions senzilles.

 

 

 

 

 


 

MATEMÀTIQUES II

 

Processos que es desenvolupen durant el curs a través dels diferents continguts

 

·        La resolució de problemes, entesa com un estil d’ensenyament que facilita la construcció de coneixement matemàtic a partir de l’experimentació, la cerca de patrons i regularitats i la formulació de resultats conjecturals.

·        El raonament i la prova, que pren sentit quan l’alumne ha descobert la necessitat de consolidar resultats prèviament conjecturats, pel fet d’haver-ne descobert prèviament d’erronis.

·        La defensa oral i per escrit dels propis raonaments, l’acceptació dels errors comesos i la comprensió davant dels errors dels altres. Es tracta d’establir plans de treball individuals o en grup que facilitin la comunicació entre els estudiants.

·        La utilització de diferents recursos tecnològics (ordinadors, calculadores, recursos audiovisuals, ...) que facilitin el descobriment d’invariants, la cerca de patrons i regularitats, la representació i interpretació de les dades, l’observació, exposició, contrast i, si s’escau, consolidació de propietats que s’obtenen de les seccions o manipulacions de diferents figures, etc.

·        La integració de la cultura matemàtica en el procés d’ensenyament, entesa com una activitat que permet que l’alumne conegui moments històrics rellevants connectats amb els continguts que es desenvolupen en cada moment. Els apartats epistemològics que es tractin no s’haurien de limitar a una exposició purament anecdòtica.

 

 

ÀLGEBRA LINEAL

 

El llenguatge matricial com a eina per expressar i resoldre problemes relacionats amb l’organització de dades

 

·        Les matrius com a eina que serveix per resoldre sistemes, representar algunes transformacions geomètriques i, en general, per treballar amb dades estructurades en taules.

·        Operacions amb matrius. Aplicació a  contextos reals.

 

Els sistemes lineals una eina per plantejar i resoldre problemes

 

·        Determinants d’ordre 2 i 3 . Rang d’una matriu. Càlcul de la matriu inversa.

·        Discussió i resolució de sistemes d’equacions lineals ( amb un paràmetre com a màxim)  . Problemes de planteig.

 

GEOMETRIA A L’ESPAI

 

La interpretació geomètrica dels sistemes lineals amb tres incògnites

 

·        Vectors lliures a l’espai. Dependència i independència lineal.

·        Equacions del pla i de la recta. Posicions relatives. Interpretació geomètrica de sistemes lineals amb tres incògnites.

 

El plantejament i la resolució de problemes mètrics a l’espai

 

·        Producte escalar. Perpendicularitat i angles.

·        Producte vectorial i mixt. Interpretació geomètrica i aplicacions al càlcul d’àrees i volums.

·        Càlcul de distàncies.

 

ANÀLISI

 

L’aplicació de l’estudi local i global d’una funció a situacions geomètriques, científiques i tecnològiques

 

·        Una aproximació al concepte de límit d’una funció en un punt i a l’infinit. Asímptotes verticals i horitzontals.

·        Continuïtat. Classificació dels punts de discontinuïtat.

·        El teorema de Bolzano: un mètode per aproximar arrels.

·        Estudi, amb ordinador, dels punts de no derivabilitat d’una funció.

·        Estudi de funcions: domini i recorregut, signe, punts de tall amb els eixos, simetries, límits a l’infinit, asímptotes, intervals de creixement i decreixement, màxims i mínims relatius, màxims i mínims absoluts, concavitat i convexitat, punts d’inflexió. Representacions gràfiques. Aplicació a situacions geomètriques, científiques i tecnològiques.

·        Ús de calculadores i/o programes informàtics que faciliten tant el càlcul simbòlic com la representació gràfica.

·        Problemes d’optimització.

 

El càlcul d’àrees planes, una de les situacions que requereixen el càlcul integral

 

·        Antiderivades o primitives d’una funció. Càlcul de primitives quasi immediates que es puguin fer directament aplicant les dues regles bàsiques del càlcul integral o amb canvis de variable senzills, i el mètode d’integració per parts.

·        Introducció al concepte de integral definida a partir de la aproximació del càlcul de l’àrea sota una corba. Aplicació al càlcul d’àrees.

 

 

 

Connexions amb altres matèries

FÍSICA I:

Aproximacions, errors i notació científica: en tot el currículum de física i particularment quan es fan pràctiques quantitatives o es tracta el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura.

Vectors i trigonometria: cinemàtica, dinàmica, camp gravitatori, camp elèctric, electromagnetisme.

Fenòmens periòdics: moviment circular.

Còniques: camp gravitatori, camp elèctric.

Les funcions polinòmiques, de proporcionalitat inversa, exponencials i trigonomètriques: en tot el currículum de física

Producte escalar: treball i energia, camp elèctric.

Taxes de variació i derivades: pràcticament en totes les parts però especialment en la  cinemàtica i el moviment ondulatori.

Estadística: tractament de dades experimentals.

 

QUÍMICA I:

Aproximacions, errors i notació científica: en tot el currículum de química i particularment quan es fan pràctiques quantitatives o es tracta el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura.

Resolució d’equacions: problemes d’equilibri químic

Estudi de funcions a partir de taules i gràfics en bona part del currículum

Funcions polinòmiques i de proporcionalitat inversa: llei dels gasos de Gay-Lussac, llei de Boyle-Mariotte

Logaritmes: equilibri químic, ph

Taxes de variació i derivades: cinètica química, gasos ideals.

Estadística: Tractament de dades experimentals.

Ús de la calculadora i de fulls de càlcul en bona part del currículum

 

BIOLOGIA I i II

Aproximacions, errors i notació científica: en tot el currículum de biologia i particularment quan es fan pràctiques quantitatives o es tracta el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura.

Funció exponencial: creixements de població

Taxes de variació: taxa de creixement d’una població

 

Combinatòria: Bioquímica i reproducció cel·lular

Probabilitat: genètica

Estadística: Evolució

 

DIBUIX TÈCNIC I:

Geometria plana: Construccions geomètriques i resolució gràfica de problemes.

 

CIÈNCIES DE LA TERRA I DEL MEDI AMBIENT I

Trigonometria: càlcul d’àrees

Funcions trigonomètriques: fenòmens periòdics

 

FÍSICA II

Producte vectorial: electromagnetisme

Còniques: interferències, camp gravitatori i elèctric.

Derivades: moviment ondulatori

Funcions trigonomètriques: moviment harmònic simple, pèndul simple, moviment ondulatori.

Funció exponencial: física nuclear

 

DIBUIX TÈCNIC II:

Geometria a l’espai: Construccions geomètriques i resolució gràfica de problemes

 

ELECTROTÈCNIA

Resolució de sistemes: Lleis de Kirchoff

Derivades, funcions trigonomètriques i complexos: Corrent altern

 

 

Els contextos HISTÒRICS

 

Es presenta una llista no exhaustiva i per tant ampliable, de possibles aproximacions històriques relacionades amb els continguts del curs:

 

  1. El teorema fonamental del càlcul. La controvèrsia sobre dos camins a Newton i a Leibniz.
  2. Mètodes numèrics xinesos en la resolució d’equacions. El mètode de Horner.
  3. Karl Friedrich Gauss  i la resolució de sistemes lineals d’equacions. La resolució de sistemes en la matemàtica xinesa.
  4. Arquimedes  i el càlcul d’àrees i volums.
  5. El mètode dels indivisibles de Bonaventura Cavalieri per al càlcul d’àrees.
  6. El naixement  de les geometries no euclidianes: Gauss, Bolyai i Lobatchevski.

 

 

 

criteris d’avaluació

 

1.             Fer servir el llenguatge matricial i els determinants com a eina per a representar i identificar estructures de dades. Ser destre en la utilització de les matrius per a organitzar informació i per a transformar-la mitjançant les operacions corresponents.

 

2.             Resoldre i interpretar geomètricament el significat de sistemes d’equacions lineals, i saber aplicar-los a situacions concretes, i fer servir les tècniques de resolució de sistemes d’equacions lineals per a resoldre problemes del context real, i per a calcular posicions relatives de rectes i plans.

 

3.             Desenvolupar els coneixements de geometria plana per a comprendre, interpretar i resoldre situacions vectorials tridimensionals, comprendre els conceptes de perpendicularitat i angle de dues direccions, i aplicar els conceptes bàsics de Geometria de l’espai a la resolució de problemes de distància i perpendicularitat.

 

4.             Aplicar els conceptes de límit i de derivada per a conèixer en profunditat les funcions, i aplicar aquests coneixements a problemes reals, ser capaç d’interpretar i aplicar a situacions concretes la informació obtinguda de l’estudi de les funcions. Específicament, ser capaç d’analitzar de manera detallada el comportament local i global d’una funció

 

5.             Saber modelitzar i resoldre problemes de la vida real lligats a la derivació. Ser destre en el plantejament i resolució de problemes lligats a la vida real en què es facin servir els conceptes lligats a la derivació, en particular problemes d’optimització, i interpretar els resultats que s’obtinguin.

 

6.             Ser capaç de reconèixer situacions que requereixin del càlcul integral per a la seva matematització. Interpretar la integral com a àrea, i aplicar aquesta interpretació a situacions concretes. Dominar tècniques senzilles d’integració i ser capaç d’utilitzar-les per a mesurar l’àrea d’una regió plana senzilla.

 

7.             Saber utilitzar la calculadora i l’ordinador per a facilitar càlculs, fer representacions gràfiques, i explorar i  simular situacions. Fer servir intel·ligentment les TIC, ser capaç d’interpretar els resultats d’una operació automàtica en el context del problema que s’està resolent.